Volatilidade e Modelos GARCH

Financial Analytics: PADS Insper 2026.2

Programa Avançado de Data Science e Decisão

De Séries Temporais para Finanças

Séries financeiras são fundamentalmente diferentes:

Retornos quase sem autocorrelação (mercado eficiente)
Retornos ao quadrado com autocorrelação forte
Caudas pesadas (eventos extremos)
Clusters de volatilidade
Efeito alavancagem (quedas → mais volatilidade)

Log-Retorno

\[r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)\]

Vantagens:

Aditividade temporal: \(r_{t:t+k} = r_t + r_{t+1} + \cdots + r_{t+k}\)
Simetria: queda e recuperação são simétricas em log
Para \(|R_t| < 10\%\): \(r_t \approx R_t\)

O Paradoxo Fundamental

Important

Retornos parecem imprevisíveis (mercado eficiente)

Retornos ao quadrado são previsíveis (volatilidade é persistente)

→ Não podemos prever a direção, mas podemos prever a magnitude

→ Fundamento dos modelos GARCH

ARCH — Engle (1982)

A variância muda ao longo do tempo:

\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q \varepsilon_{t-q}^2\]

“Se ontem houve choque grande, hoje a volatilidade é alta”

Problema: precisa de muitos lags (\(q\) grande)

GARCH(1,1) — Bollerslev (1986)

\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2\]

Parâmetro	Significado	Típico
\(\alpha\)	Reação a choques	0.03–0.10
\(\beta\)	Persistência	0.85–0.95
\(\alpha + \beta\)	Persistência total	0.95–0.99

O GARCH(1,1) é suficiente em ~90% dos casos.

Interpretando os Parâmetros

\(\alpha\) alto, \(\beta\) baixo: picos agudos e curtos de volatilidade
\(\alpha\) baixo, \(\beta\) alto: transições lentas entre regimes
\(\alpha + \beta \approx 1\): choques “nunca” desaparecem (IGARCH)
Half-life: \(\ln(0.5) / \ln(\alpha + \beta)\) dias para choque reduzir pela metade

Efeito Alavancagem

Quedas geram mais volatilidade que altas de mesma magnitude.

O GARCH padrão não captura isso (\(\varepsilon^2\) trata + e - igualmente).

Variantes assimétricas:

Modelo	Como captura	Parâmetro
EGARCH	Log da variância	\(\gamma < 0\)
GJR-GARCH	Indicadora \(I(\varepsilon < 0)\)	\(\gamma > 0\)

IGARCH e RiskMetrics (EWMA)

Quando \(\alpha + \beta = 1\), reparametrize \(\beta = \lambda\), \(\omega = 0\):

\[h_t = \lambda\, h_{t-1} + (1-\lambda)\, r_{t-1}^2\]

É exatamente o RiskMetrics™ (J.P. Morgan, 1996):

\(\lambda = 0{,}94\) para dados diários
Sem estimação — parâmetro fixo
Baseline universal em VaR regulatório

Volatilidade Estocástica (SV)

No GARCH, \(h_t\) é determinística dado o passado. No SV, a volatilidade tem seu próprio choque:

\[r_t = \exp(h_t/2)\, z_t\] \[h_t = \mu + \phi(h_{t-1} - \mu) + \sigma_\eta\, \eta_t\]

Duas fontes de ruído: \(z_t\) (retorno) e \(\eta_t\) (volatilidade)

Captura melhor certos saltos de volatilidade
Base para Heston e modelos de precificação de opções
Estimação cara (MCMC, filtros de partículas)

Diagnóstico: Toolkit Mínimo

Resíduos padronizados \(\hat z_t = \hat\varepsilon_t / \sqrt{\hat h_t}\) devem ser i.i.d.

Teste	O que checa
ARCH-LM	Volatilidade residual em \(\hat z_t^2\)
Ljung-Box em \(\hat z_t\)	Autocorrelação no nível
Ljung-Box em \(\hat z_t^2\)	Clusters remanescentes
Shapiro-Wilk	Normalidade dos \(\hat z_t\)

→ Se ARCH-LM rejeita, o GARCH não capturou a volatilidade

Distribuição dos Erros

Retornos têm caudas mais pesadas que a normal:

Distribuição	Quando	Parâmetro
Normal	Baseline (inadequada)	—
t-Student	Caudas simétricas	\(\nu \approx 4\)–\(8\)
Skewed-t	Caudas assimétricas	\(\nu\) + assimetria

Warning

Usar normal subestima eventos extremos → perigoso para risco!

Próximos Passos

Lab 3: ajustar GARCH em ativos da B3 com Python (arch)
Aula 5: VaR e gestão de risco
Como usar a volatilidade GARCH para calcular VaR dinâmico