VaR e Gestão de Risco

Financial Analytics: PADS Insper 2026.2

Programa Avançado de Data Science e Decisão

O que é VaR?

“Com 95% de confiança, não perderemos mais que R$ X nos próximos 10 dias.”

\[P(L > \text{VaR}_\alpha) = 1 - \alpha\]

  • \(L\): perda do portfólio
  • \(\alpha\): nível de confiança (95% ou 99%)
  • Horizonte temporal (1 dia, 10 dias)

Três Abordagens

Método Hipóteses Flexibilidade
Paramétrico Distribuição conhecida Baixa
Histórico Nenhuma explícita Média
Monte Carlo Modelo paramétrico Alta

VaR Paramétrico

\[\text{VaR}_\alpha = -(\mu + z_\alpha \cdot \sigma) \cdot W\]

  • Rápido e analítico
  • Funciona bem com GARCH (\(\sigma_t\) dinâmico)
  • Problema: subestima risco se retornos não são normais

VaR Histórico

  1. Colete \(T\) retornos históricos
  2. Ordene do menor ao maior
  3. VaR 95% = percentil 5%
  • Não assume distribuição
  • Problema: depende da janela e assume que futuro = passado

VaR Monte Carlo

  1. Estime modelo (GARCH, cópulas, etc.)
  2. Simule \(N\) cenários (10.000+)
  3. VaR = quantil da distribuição simulada
  • O mais flexível (opções, não-linearidades)
  • Problema: computacionalmente custoso

Horizonte: Regra do \(\sqrt{k}\)

Para retornos i.i.d., a variância escala linearmente, o desvio padrão com \(\sqrt{k}\):

\[\text{VaR}_\alpha(k \text{ dias}) = \sqrt{k} \cdot \text{VaR}_\alpha(1 \text{ dia})\]

  • VaR 1 dia = R$ 100 mil \(\Rightarrow\) VaR 10 dias \(\approx\) R$ 316 mil
  • Não é R$ 1 milhão
  • Quebra se há autocorrelação ou heterocedasticidade forte

VaR de Portfólio: Correlação Importa

\[\text{VaR}_P = \sqrt{\text{VaR}_A^2 + \text{VaR}_B^2 + 2\rho\, \text{VaR}_A \text{VaR}_B}\]

\(\rho\) VaR do portfólio
\(+1\) \(\text{VaR}_A + \text{VaR}_B\) (sem diversificação)
\(0\) \(\sqrt{\text{VaR}_A^2 + \text{VaR}_B^2}\)
\(-1\) \(|\text{VaR}_A - \text{VaR}_B|\) (hedge)

Portfólio \(n\)-dimensional: \(\text{VaR}_P = z_\alpha \sqrt{\mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}} \cdot W\)

Correção \(t\)-Student

Como a \(t\) tem variância \(\nu/(\nu-2)\), o VaR paramétrico precisa de um ajuste:

\[\text{VaR}_\alpha = -\left(\mu + t^*_\nu(1-\alpha) \cdot \sigma \cdot \sqrt{\tfrac{\nu-2}{\nu}}\right) \cdot W\]

Esquecer o fator \(\sqrt{(\nu-2)/\nu}\) leva a VaRs superestimados.

Expected Shortfall (ES)

\[\text{ES}_\alpha = E[L \mid L > \text{VaR}_\alpha]\]

O VaR diz onde está o limiar. O ES diz quão ruim é quando ultrapassa.

Important

ES é subaditivo (diversificação sempre ajuda). VaR não é (pode dar resultados contra-intuitivos).

Basileia III adotou ES como padrão.

Backtesting

Compare violações observadas vs. esperadas:

Teste Avalia
Kupiec Frequência de violações
Christoffersen Independência das violações

Semáforo de Basileia (VaR 99%, 250 dias):

Zona Violações Ação
Verde 0–4 OK
Amarela 5–9 Investigar
Vermelha 10+ Modelo rejeitado

Caso: Comitê de Risco

VaR 99%, 250 dias: 8 violações (esperado: 2.5)

  • Taxa observada: 3.2% (deveria ser 1%)
  • Zona amarela de Basileia
  • Modelo provavelmente subestima o risco

Ações: revisar distribuição (normal → t?), recalibrar volatilidade (GARCH?), verificar correlações.

Próximos Passos

  1. Aula 6: CAPM, fronteira eficiente, otimização de portfólios
  2. Lab 4: implementar VaR + fronteira eficiente em Python
  3. Projeto Final: análise completa com gestão de risco