CAPM e Otimização de Portfólios

Financial Analytics: PADS Insper 2026.2

Programa Avançado de Data Science e Decisão

CAPM

\[E[R_i] = R_f + \beta_i \cdot (E[R_m] - R_f)\]

Quanto de retorno um ativo deve oferecer dado seu risco?

Parâmetro	Significado
\(R_f\)	Taxa livre de risco (CDI)
\(\beta_i\)	Sensibilidade ao mercado
\(E[R_m] - R_f\)	Prêmio de risco

Interpretando o Beta

\[\beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\text{Var}(R_m)}\]

Beta	Significado	Exemplo
\(\beta = 0\)	Sem risco de mercado	CDI
\(\beta = 1\)	Move igual ao mercado	BOVA11
\(\beta > 1\)	Mais volátil	Tech, small caps
\(\beta < 1\)	Menos volátil	Elétricas

Alpha de Jensen

\[\alpha_i = R_i - [R_f + \beta_i (R_m - R_f)]\]

\(\alpha > 0\): gestor gerou valor além do risco
\(\alpha = 0\): retorno consistente com risco
\(\alpha < 0\): gestor não compensou o risco

Decomposição do Risco

\[\underbrace{\sigma_i^2}_{\text{total}} = \underbrace{\beta_i^2 \sigma_m^2}_{\text{sistemático}} + \underbrace{\sigma^2(\varepsilon_i)}_{\text{idiossincrático}}\]

Sistemático: não diversificável, remunerado pelo mercado (\(\beta\))
Idiossincrático: diversificável, não remunerado

Portfólio com 20-30 ações já elimina a maior parte do idiossincrático.

Beta de um Portfólio

\[\beta_p = \sum_{i=1}^{n} w_i\, \beta_i\]

Linear nos pesos. Implicações práticas:

Hedge: vender \(\beta_p \cdot W\) do índice futuro neutraliza o risco de mercado
Alocação tática: ajustar \(\beta_p\) é ajustar exposição ao mercado
Atribuição: separa retorno de mercado vs. seleção de ativos

Security Market Line

Ativos acima da SML: \(\alpha > 0\) (subvalorizados)

Ativos abaixo da SML: \(\alpha < 0\) (sobrevalorizados)

A SML é a reta: \(E[R] = R_f + \beta \cdot \text{prêmio}\)

Fronteira Eficiente de Markowitz

\[\min_{\mathbf{w}} \quad \mathbf{w}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w}\] \[\text{s.a.} \quad \mathbf{w}^T \boldsymbol{\mu} = \mu_{\text{alvo}}, \quad \mathbf{w}^T \mathbf{1} = 1\]

Ideia: o risco do portfólio não é a média dos riscos — a diversificação reduz risco total.

O Poder da Diversificação

Correlação alta (0.9): pouco benefício
Correlação baixa (0.2): grande benefício
Correlação negativa (-0.5): benefício máximo

Com \(\rho = -1\) entre dois ativos: é possível eliminar todo o risco!

Restrições Práticas

Restrição	Motivação
\(w_i \geq 0\)	Sem short selling
\(w_i \leq 30\%\)	Diversificação mínima
Limite por setor	Concentração setorial
Custos de transação	Realismo

Warning

Sem restrições, Markowitz frequentemente produz portfólios extremos (90% em 1 ativo) → “error maximization”

Sharpe = Inclinação da CML

Capital Market Line: reta que liga \(R_f\) ao portfólio de mercado.

\[E[R_p] = R_f + \underbrace{\frac{E[R_m] - R_f}{\sigma_m}}_{\text{Sharpe do mercado}} \cdot \sigma_p\]

A inclinação da CML é o Sharpe ratio
O portfólio tangente à fronteira eficiente maximiza o Sharpe
Todos os portfólios na CML dominam qualquer portfólio abaixo dela

É por isso que o Sharpe é o indicador de performance número 1.

Indicadores de Performance

Indicador	Fórmula	O que mede
Sharpe	\((R_p - R_f) / \sigma_p\)	Retorno/risco total
Sortino	\((R_p - R_f) / \sigma_{\text{down}}\)	Retorno/risco negativo
Max Drawdown	Maior queda do pico	Pior cenário

Próximos Passos

Lab 4: construir fronteira eficiente em Python
Competição de Portfólios: monte sua carteira!
Aula 7: tópicos avançados (VAR, cointegração, pair trading)