SARIMA e Prophet

Modelando sazonalidade estocástica e alternativas modernas

Objetivos de Aprendizagem

Reconhecer sazonalidade estocástica em séries reais e distinguir de sazonalidade determinística
Formular modelos SARIMA com operadores sazonais $(P, D, Q)_s$
Identificar a ordem sazonal a partir de ACF/PACF e critérios de informação
Comparar SARIMA com Prophet como alternativas para séries sazonais

Relembrando: onde estamos

Em Modelos ARIMA, modelamos a dinâmica não-sazonal de uma série via ARIMA$(p,d,q)$. Ficou pendente o caso em que a série tem padrões que se repetem em períodos fixos: vendas que sobem todo dezembro, PIB que dá um salto no 4º trimestre, demanda de energia que sobe todo verão. Para essas séries, ARIMA puro não basta: precisamos de uma extensão que trate a sazonalidade como parte da estrutura dinâmica.

Sazonalidade determinística vs. estocástica

Tipo	Modelo	Tratamento
Determinística	$S_t$ é função fixa do calendário (dummies, Fourier)	Incluir regressores sazonais
Estocástica	$S_t$ evolui no tempo (amplitude muda, fase muda)	Diferença sazonal $\Delta_s Y_t$ e termos $(P,D,Q)_s$

SARIMA e Prophet adotam estratégias opostas: SARIMA trata a sazonalidade como estocástica (diferenciação sazonal), Prophet trata como determinística (base de Fourier com suavização).

Modelo SARIMA

SARIMA$(p,d,q)(P,D,Q)_s$ \[\underbrace{\phi(B)}_{\text{AR}} \underbrace{\Phi(B^s)}_{\text{AR sazonal}} \underbrace{(1-B)^d}_{\text{dif. regular}} \underbrace{(1-B^s)^D}_{\text{dif. sazonal}} Y_t = c + \underbrace{\theta(B)}_{\text{MA}} \underbrace{\Theta(B^s)}_{\text{MA sazonal}} \varepsilon_t\]

Parte	Parâmetros	Captura
Não-sazonal $(p,d,q)$	Dependência entre períodos consecutivos	“Ontem afeta hoje”
Sazonal $(P,D,Q)_s$	Dependência entre mesmos períodos em ciclos diferentes	“Dezembro passado afeta dezembro deste ano”

O operador de diferença sazonal

A diferença sazonal de ordem $s$ é \[\Delta_s Y_t = (1-B^s) Y_t = Y_t - Y_{t-s}.\]

Para dados mensais com sazonalidade anual ($s=12$): \[\Delta_{12} Y_t = Y_t - Y_{t-12}\]

Isso remove uma sazonalidade estocástica estável: o valor de cada mês passa a ser expresso como a variação em relação ao mesmo mês do ano anterior. Se a sazonalidade for totalmente estável, $\Delta_{12} Y_t$ fica estacionária apenas com isso; caso contrário, pode ser preciso combinar com a diferença regular: $\Delta \Delta_{12} Y_t$.

Identificação: ACF/PACF com sazonalidade

Em séries sazonais, a ACF tem picos proeminentes nos lags múltiplos de $s$ (12, 24, 36… em dados mensais). Essa é a assinatura da sazonalidade.

Regra prática (Box-Jenkins estendido):

Olhe a série → tem sazonalidade visível? Se sim, $s$ = período.
Diferencie sazonalmente $\Delta_s$ → a série ficou estacionária? Se não, adicione $\Delta$ regular.
Na ACF/PACF da série duplamente diferenciada:
- Lags sazonais (12, 24…) → sugerem $P$ e $Q$.
- Lags pequenos (1, 2, 3…) → sugerem $p$ e $q$.
Compare candidatos via AICc e valide no diagnóstico residual.

Parcimônia

Na prática, $(P, Q) \in \{0, 1, 2\}$ quase sempre são suficientes. SARIMA$(0,1,1)(0,1,1)_{12}$ (o famoso “airline model” de Box-Jenkins) é um ponto de partida surpreendentemente bom para muitas séries mensais.

Aplicação: IBC-Br com SARIMA

O IBC-Br (índice de atividade econômica do BCB) é o melhor análogo mensal do PIB brasileiro. Na versão sem ajuste sazonal (série 24363), ele carrega padrões fortes: impulso de 13º salário no 4º trimestre, férias/carnaval no 1º, safra no 2º.

Código

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from bcb import sgs
from statsforecast import StatsForecast
from statsforecast.models import AutoARIMA

# 1) IBC-Br mensal, sem ajuste sazonal
ibcbr = sgs.get({'ibcbr': 24363}, start='2003-01-01').rename_axis('ds').reset_index()
ibcbr['unique_id'] = 'ibcbr'
ibcbr = ibcbr.rename(columns={'ibcbr': 'y'})[['unique_id', 'ds', 'y']]

# 2) AutoARIMA com season_length=12 → considera modelos SARIMA
sf = StatsForecast(models=[AutoARIMA(season_length=12)], freq='MS', n_jobs=1)
sf.fit(df=ibcbr)

arma = sf.fitted_[0, 0].model_['arma']
# arma = (p, q, P, Q, s, d, D)
print(f"SARIMA({arma[0]},{arma[5]},{arma[1]})({arma[2]},{arma[6]},{arma[3]})[{arma[4]}]")
print(f"AICc: {sf.fitted_[0, 0].model_['aicc']:.2f}")

SARIMA(3,1,3)(1,1,1)[12]
AICc: 1110.51

Código

# 3) Previsão 24 meses à frente
forecast = sf.forecast(df=ibcbr, h=24, level=[80, 95])

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4))
ax.plot(ibcbr['ds'], ibcbr['y'], color='#5B5B5B', linewidth=0.7, label='Histórico')
ax.plot(forecast['ds'], forecast['AutoARIMA'], color='#E50505', linewidth=2, label='SARIMA (AutoARIMA)')
ax.fill_between(forecast['ds'],
                forecast['AutoARIMA-lo-95'], forecast['AutoARIMA-hi-95'],
                alpha=0.15, color='#E50505', label='IC 95%')
ax.set_title('IBC-Br: previsão com SARIMA (via AutoARIMA, season_length=12)')
ax.set_ylabel('IBC-Br (sem ajuste sazonal)'); ax.legend(); ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout(); plt.show()

O que observar

O AutoARIMA com season_length=12 testa modelos com $(P, D, Q)$ não-triviais e seleciona pelo AICc.
O intervalo de confiança respira com a sazonalidade: em períodos tipicamente voláteis (Q4/Q1), o IC é mais largo.
A previsão reproduz o padrão sazonal para fora da amostra: é isso que o SARIMA traz em cima do ARIMA puro.

Prophet: decomposição moderna com tendência + Fourier

O Prophet (Facebook/Meta, 2017) resolve o mesmo problema de outro ângulo: em vez de diferenciar, ele modela \[Y_t = g(t) + s(t) + h(t) + \varepsilon_t\] onde $g(t)$ é uma tendência (linear por partes ou logística), $s(t)$ é uma expansão de Fourier para cada sazonalidade, e $h(t)$ captura feriados.

Características

Robustez a dados faltantes e a outliers.
Múltiplas sazonalidades (anual, semanal, diária, customizadas).
Feriados (incluindo móveis como Carnaval e Páscoa) via dicionário.
Mudanças de tendência (“changepoints”) detectadas automaticamente.
Custo: menor garantia estatística que SARIMA: é um modelo curve-fitting, não puramente probabilístico.

Aplicação: Prophet no IBC-Br

Código

from prophet import Prophet
from prophet.plot import plot_plotly  # noqa: F401

# Prophet espera colunas 'ds' e 'y'
df_prophet = ibcbr[['ds', 'y']].copy()

m = Prophet(yearly_seasonality=True, weekly_seasonality=False, daily_seasonality=False,
            seasonality_mode='multiplicative', interval_width=0.95)
m.fit(df_prophet)

future = m.make_future_dataframe(periods=24, freq='MS')
fcst = m.predict(future)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4))
ax.plot(df_prophet['ds'], df_prophet['y'], color='#5B5B5B', linewidth=0.7, label='Histórico')
ax.plot(fcst['ds'], fcst['yhat'], color='#730D9F', linewidth=2, label='Prophet')
ax.fill_between(fcst['ds'], fcst['yhat_lower'], fcst['yhat_upper'],
                alpha=0.15, color='#730D9F', label='IC 95%')
ax.set_title('IBC-Br: previsão com Prophet (sazonalidade anual multiplicativa)')
ax.set_ylabel('IBC-Br'); ax.legend(); ax.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout(); plt.show()

Código

# Componentes: tendência + sazonalidade anual
fig = m.plot_components(fcst)
plt.tight_layout(); plt.show()

SARIMA vs. Prophet: quando usar cada um

Critério	SARIMA	Prophet
Fundamento estatístico	Processo estocástico formal	Curva ajustada (regressão)
Intervalo de confiança	Derivado da distribuição do ruído	Quantis empíricos/simulados
Múltiplas sazonalidades	Via MSTL ou modelos state-space	Nativo
Feriados móveis	Manual (dummy exógena)	Nativo
Quantidade de dados	Funciona com poucos anos	Gosta de histórico mais longo
Interpretabilidade	Coeficientes AR/MA	Componentes tendência/sazonalidade
Diagnóstico residual clássico	Ljung-Box, ACF residual	Limitado

Regra prática

Para séries mensais/trimestrais com sazonalidade estável e história razoável: SARIMA é difícil de bater em AICc/RMSE.
Para séries diárias com múltiplas sazonalidades (semanal + anual) e feriados: Prophet resolve em poucas linhas.
Para comparação honesta: nunca escolha sem backtest. Veremos isso em Previsão e Validação.

Quizzes

Questão 1: Uma série mensal apresenta picos marcantes a cada 12 meses na ACF. O que isso sugere para a modelagem SARIMA?

Há sazonalidade anual estocástica. É provável que precise de pelo menos $D=1$ (uma diferença sazonal). Se após $\Delta_{12}$ a ACF ainda tiver picos no lag 12, pode ser necessário um $Q=1$ (ou $P=1$) para capturar a dependência sazonal residual.

Questão 2: Quando a sazonalidade seria melhor tratada como determinística (dummies) em vez de estocástica (SARIMA)?

Quando o padrão sazonal é perfeitamente estável ao longo do tempo (ex: demanda elétrica fortemente amarrada ao calendário). Dummies ficam mais parcimoniosas e fáceis de interpretar. Na prática, muitas séries de negócio têm sazonalidade evolutiva (supply chain mudando, hábitos de consumo mudando), o que favorece SARIMA/STL.

Questão 3: O Prophet detecta changepoints automaticamente. Em que situação isso pode ser problemático?

Quando a série tem ruído alto ou poucos anos, o Prophet pode identificar changepoints espúrios e produzir tendências erráticas. Mitigações: reduzir o número máximo de changepoints (n_changepoints) e/ou aumentar o prior de regularização (changepoint_prior_scale menor).

Para Saber Mais

FPP3, Cap. 9: ARIMA Models: Seasonal ARIMA
Taylor & Letham (2017). Forecasting at Scale, paper do Prophet.
Documentação do Prophet e statsforecast.

De volta ao topo

--- title: "SARIMA e Prophet" subtitle: "Modelando sazonalidade estocástica e alternativas modernas" format: html: code-fold: true --- ::: {.objetivos} #### Objetivos de Aprendizagem - **Reconhecer** sazonalidade estocástica em séries reais e distinguir de sazonalidade determinística - **Formular** modelos SARIMA com operadores sazonais $(P, D, Q)_s$ - **Identificar** a ordem sazonal a partir de ACF/PACF e critérios de informação - **Comparar** SARIMA com Prophet como alternativas para séries sazonais ::: ## Relembrando: onde estamos Em [Modelos ARIMA](arima.qmd), modelamos a dinâmica **não-sazonal** de uma série via ARIMA$(p,d,q)$. Ficou pendente o caso em que a série tem **padrões que se repetem em períodos fixos**: vendas que sobem todo dezembro, PIB que dá um salto no 4º trimestre, demanda de energia que sobe todo verão. Para essas séries, ARIMA puro não basta: precisamos de uma extensão que trate a sazonalidade como parte da estrutura dinâmica. ::: {.callout-note} ## Sazonalidade determinística vs. estocástica | Tipo | Modelo | Tratamento | |------|--------|------------| | **Determinística** | $S_t$ é função fixa do calendário (dummies, Fourier) | Incluir regressores sazonais | | **Estocástica** | $S_t$ evolui no tempo (amplitude muda, fase muda) | **Diferença sazonal** $\Delta_s Y_t$ e termos $(P,D,Q)_s$ | SARIMA e Prophet adotam estratégias opostas: SARIMA trata a sazonalidade como **estocástica** (diferenciação sazonal), Prophet trata como **determinística** (base de Fourier com suavização). ::: ## Modelo SARIMA ::: {.formula-highlight} [SARIMA$(p,d,q)(P,D,Q)_s$]{.formula-label} $$\underbrace{\phi(B)}_{\text{AR}} \underbrace{\Phi(B^s)}_{\text{AR sazonal}} \underbrace{(1-B)^d}_{\text{dif. regular}} \underbrace{(1-B^s)^D}_{\text{dif. sazonal}} Y_t = c + \underbrace{\theta(B)}_{\text{MA}} \underbrace{\Theta(B^s)}_{\text{MA sazonal}} \varepsilon_t$$ ::: | Parte | Parâmetros | Captura | |-------|-----------|---------| | Não-sazonal $(p,d,q)$ | Dependência entre períodos consecutivos | "Ontem afeta hoje" | | Sazonal $(P,D,Q)_s$ | Dependência entre mesmos períodos em ciclos diferentes | "Dezembro passado afeta dezembro deste ano" | ### O operador de diferença sazonal A **diferença sazonal** de ordem $s$ é $$\Delta_s Y_t = (1-B^s) Y_t = Y_t - Y_{t-s}.$$ Para dados mensais com sazonalidade anual ($s=12$): $$\Delta_{12} Y_t = Y_t - Y_{t-12}$$ Isso remove uma **sazonalidade estocástica estável**: o valor de cada mês passa a ser expresso como a variação em relação ao mesmo mês do ano anterior. Se a sazonalidade for totalmente estável, $\Delta_{12} Y_t$ fica estacionária apenas com isso; caso contrário, pode ser preciso combinar com a diferença regular: $\Delta \Delta_{12} Y_t$. ### Identificação: ACF/PACF com sazonalidade Em séries sazonais, a ACF tem **picos proeminentes nos lags múltiplos de $s$** (12, 24, 36... em dados mensais). Essa é a assinatura da sazonalidade. **Regra prática (Box-Jenkins estendido)**: 1. Olhe a série → tem sazonalidade visível? Se sim, $s$ = período. 2. Diferencie sazonalmente $\Delta_s$ → a série ficou estacionária? Se não, adicione $\Delta$ regular. 3. Na ACF/PACF da série duplamente diferenciada: - **Lags sazonais** (12, 24...) → sugerem $P$ e $Q$. - **Lags pequenos** (1, 2, 3...) → sugerem $p$ e $q$. 4. Compare candidatos via AICc e valide no diagnóstico residual. ::: {.callout-tip} ## Parcimônia Na prática, $(P, Q) \in \{0, 1, 2\}$ quase sempre são suficientes. SARIMA$(0,1,1)(0,1,1)_{12}$ (o famoso "airline model" de Box-Jenkins) é um ponto de partida surpreendentemente bom para muitas séries mensais. ::: ## Aplicação: IBC-Br com SARIMA O IBC-Br (índice de atividade econômica do BCB) é o melhor análogo mensal do PIB brasileiro. Na versão **sem ajuste sazonal** (série 24363), ele carrega padrões fortes: impulso de 13º salário no 4º trimestre, férias/carnaval no 1º, safra no 2º. ```{python} #| code-fold: true import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from bcb import sgs from statsforecast import StatsForecast from statsforecast.models import AutoARIMA # 1) IBC-Br mensal, sem ajuste sazonal ibcbr = sgs.get({'ibcbr': 24363}, start='2003-01-01').rename_axis('ds').reset_index() ibcbr['unique_id'] = 'ibcbr' ibcbr = ibcbr.rename(columns={'ibcbr': 'y'})[['unique_id', 'ds', 'y']] # 2) AutoARIMA com season_length=12 → considera modelos SARIMA sf = StatsForecast(models=[AutoARIMA(season_length=12)], freq='MS', n_jobs=1) sf.fit(df=ibcbr) arma = sf.fitted_[0, 0].model_['arma'] # arma = (p, q, P, Q, s, d, D) print(f"SARIMA({arma[0]},{arma[5]},{arma[1]})({arma[2]},{arma[6]},{arma[3]})[{arma[4]}]") print(f"AICc: {sf.fitted_[0, 0].model_['aicc']:.2f}") ``` ```{python} #| code-fold: true # 3) Previsão 24 meses à frente forecast = sf.forecast(df=ibcbr, h=24, level=[80, 95]) fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4)) ax.plot(ibcbr['ds'], ibcbr['y'], color='#5B5B5B', linewidth=0.7, label='Histórico') ax.plot(forecast['ds'], forecast['AutoARIMA'], color='#E50505', linewidth=2, label='SARIMA (AutoARIMA)') ax.fill_between(forecast['ds'], forecast['AutoARIMA-lo-95'], forecast['AutoARIMA-hi-95'], alpha=0.15, color='#E50505', label='IC 95%') ax.set_title('IBC-Br: previsão com SARIMA (via AutoARIMA, season_length=12)') ax.set_ylabel('IBC-Br (sem ajuste sazonal)'); ax.legend(); ax.grid(alpha=0.3) plt.tight_layout(); plt.show() ``` ::: {.callout-note} ## O que observar - O `AutoARIMA` com `season_length=12` testa modelos com $(P, D, Q)$ não-triviais e seleciona pelo AICc. - O intervalo de confiança **respira** com a sazonalidade: em períodos tipicamente voláteis (Q4/Q1), o IC é mais largo. - A previsão reproduz o padrão sazonal para fora da amostra: é isso que o SARIMA traz em cima do ARIMA puro. ::: ## Prophet: decomposição moderna com tendência + Fourier O **Prophet** (Facebook/Meta, 2017) resolve o mesmo problema de outro ângulo: em vez de diferenciar, ele modela $$Y_t = g(t) + s(t) + h(t) + \varepsilon_t$$ onde $g(t)$ é uma tendência (linear por partes ou logística), $s(t)$ é uma expansão de Fourier para cada sazonalidade, e $h(t)$ captura feriados. ### Características - **Robustez a dados faltantes** e a outliers. - **Múltiplas sazonalidades** (anual, semanal, diária, customizadas). - **Feriados** (incluindo móveis como Carnaval e Páscoa) via dicionário. - **Mudanças de tendência** ("changepoints") detectadas automaticamente. - Custo: menor garantia estatística que SARIMA: é um modelo **curve-fitting**, não puramente probabilístico. ### Aplicação: Prophet no IBC-Br ```{python} #| code-fold: true from prophet import Prophet from prophet.plot import plot_plotly # noqa: F401 # Prophet espera colunas 'ds' e 'y' df_prophet = ibcbr[['ds', 'y']].copy() m = Prophet(yearly_seasonality=True, weekly_seasonality=False, daily_seasonality=False, seasonality_mode='multiplicative', interval_width=0.95) m.fit(df_prophet) future = m.make_future_dataframe(periods=24, freq='MS') fcst = m.predict(future) fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 4)) ax.plot(df_prophet['ds'], df_prophet['y'], color='#5B5B5B', linewidth=0.7, label='Histórico') ax.plot(fcst['ds'], fcst['yhat'], color='#730D9F', linewidth=2, label='Prophet') ax.fill_between(fcst['ds'], fcst['yhat_lower'], fcst['yhat_upper'], alpha=0.15, color='#730D9F', label='IC 95%') ax.set_title('IBC-Br: previsão com Prophet (sazonalidade anual multiplicativa)') ax.set_ylabel('IBC-Br'); ax.legend(); ax.grid(alpha=0.3) plt.tight_layout(); plt.show() ``` ```{python} #| code-fold: true # Componentes: tendência + sazonalidade anual fig = m.plot_components(fcst) plt.tight_layout(); plt.show() ``` ### SARIMA vs. Prophet: quando usar cada um | Critério | SARIMA | Prophet | |----------|--------|---------| | Fundamento estatístico | Processo estocástico formal | Curva ajustada (regressão) | | Intervalo de confiança | Derivado da distribuição do ruído | Quantis empíricos/simulados | | Múltiplas sazonalidades | Via MSTL ou modelos state-space | Nativo | | Feriados móveis | Manual (dummy exógena) | Nativo | | Quantidade de dados | Funciona com poucos anos | Gosta de histórico mais longo | | Interpretabilidade | Coeficientes AR/MA | Componentes tendência/sazonalidade | | Diagnóstico residual clássico | Ljung-Box, ACF residual | Limitado | ::: {.callout-important} ## Regra prática - Para séries **mensais/trimestrais** com sazonalidade estável e história razoável: **SARIMA** é difícil de bater em AICc/RMSE. - Para séries **diárias** com múltiplas sazonalidades (semanal + anual) e feriados: **Prophet** resolve em poucas linhas. - Para comparação honesta: **nunca escolha sem backtest**. Veremos isso em [Previsão e Validação](previsao.qmd). ::: ## Quizzes ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 1: Uma série mensal apresenta picos marcantes a cada 12 meses na ACF. O que isso sugere para a modelagem SARIMA? **Há sazonalidade anual estocástica.** É provável que precise de pelo menos $D=1$ (uma diferença sazonal). Se após $\Delta_{12}$ a ACF ainda tiver picos no lag 12, pode ser necessário um $Q=1$ (ou $P=1$) para capturar a dependência sazonal residual. ::: ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 2: Quando a sazonalidade seria melhor tratada como determinística (dummies) em vez de estocástica (SARIMA)? Quando o padrão sazonal é **perfeitamente estável** ao longo do tempo (ex: demanda elétrica fortemente amarrada ao calendário). Dummies ficam mais parcimoniosas e fáceis de interpretar. Na prática, muitas séries de negócio têm sazonalidade **evolutiva** (supply chain mudando, hábitos de consumo mudando), o que favorece SARIMA/STL. ::: ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 3: O Prophet detecta changepoints automaticamente. Em que situação isso pode ser problemático? Quando a série tem **ruído alto** ou poucos anos, o Prophet pode identificar changepoints espúrios e produzir tendências erráticas. Mitigações: reduzir o número máximo de changepoints (`n_changepoints`) e/ou aumentar o prior de regularização (`changepoint_prior_scale` menor). ::: ## Para Saber Mais - [FPP3, Cap. 9: ARIMA Models: Seasonal ARIMA](https://otexts.com/fpppy/09-arima.html) - Taylor & Letham (2017). *Forecasting at Scale*, paper do Prophet. - Documentação do [Prophet](https://facebook.github.io/prophet/) e [statsforecast](https://nixtlaverse.nixtla.io/statsforecast/).