Aula 4: Volatilidade e Modelos GARCH

Modelando o risco que muda ao longo do tempo

Objetivos de Aprendizagem

Identificar fatos estilizados de séries financeiras
Formular modelos ARCH e GARCH para volatilidade condicional
Comparar variantes (EGARCH, GJR-GARCH) e suas motivações
Aplicar modelos de volatilidade a ativos reais

De Séries Temporais para Finanças

Até agora, trabalhamos com séries que tipicamente têm tendência e sazonalidade (vendas, PIB, inflação). Séries financeiras — retornos de ações, câmbio, commodities — são fundamentalmente diferentes. Os retornos geralmente não têm tendência nem sazonalidade forte, mas apresentam fenômenos que exigem novos modelos.

Retorno e Log-Retorno

Retorno simples \[R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1\]

Log-retorno (retorno continuamente composto) \[r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) = \ln(P_t) - \ln(P_{t-1})\]

Por que usar log-retorno?

Aditividade temporal: $r_{t:t+k} = r_t + r_{t+1} + \cdots + r_{t+k}$ — facilitando cálculos
Simetria: uma queda de 50% ($R = -0.5$) exige alta de 100% ($R = +1.0$) para recuperar, mas em log são $-0.69$ e $+0.69$ — mais simétrico
Aproximação: para retornos pequenos ($|R_t| < 0.1$), $r_t \approx R_t$
Normalidade: log-retornos se aproximam mais da distribuição normal

Fatos Estilizados de Séries Financeiras

Estas são regularidades empíricas observadas em praticamente todos os mercados financeiros ao redor do mundo:

flowchart TD
    R(("Fatos<br/>Estilizados"))
    R --> A["<b>Caudas pesadas</b><br/>Excesso de curtose<br/>Eventos extremos frequentes"]
    R --> B["<b>Clusters de volatilidade</b><br/>Períodos calmos e turbulentos<br/>Volatilidade persistente"]
    R --> C["<b>Efeito alavancagem</b><br/>Quedas geram mais volatilidade<br/>Medo > Euforia"]
    R --> D["<b>Sem autocorrelação nos retornos</b><br/>r_t quase i.i.d.<br/>Mas r_t² tem forte ACF!"]

    classDef root fill:#E50505,stroke:#3F3F3F,stroke-width:2px,color:#fff
    classDef fact fill:#ffffff,stroke:#3F3F3F,stroke-width:1.5px,color:#3F3F3F
    class R root
    class A,B,C,D fact

    linkStyle default stroke:#3F3F3F,stroke-width:1.5px

Mercado eficiente, random walk e volatilidade

Vale conectar o quarto fato estilizado — ausência de autocorrelação nos retornos — com um conceito que apareceu já na Aula 1 (random walk) e que é a base conceitual de praticamente toda finanças moderna: a hipótese do mercado eficiente (EMH).

Na sua versão mais comum (forma fraca), a EMH afirma que o preço atual já incorpora toda a informação contida no histórico de preços. A consequência estatística é simples e poderosa: se fosse possível prever a direção do próximo retorno a partir dos retornos passados, haveria uma oportunidade de arbitragem — traders a explorariam, e o padrão desapareceria. Em equilíbrio, portanto, a série de retornos deve ser aproximadamente não-autocorrelacionada.

Isso é exatamente o que observamos nos dados: a ACF dos retornos é tipicamente indistinguível de ruído branco. Equivalentemente, o preço segue aproximadamente uma random walk (a forma mais simples de processo não-estacionário que vimos na Aula 1), já que

\[P_t = P_{t-1} \exp(r_t), \qquad r_t \approx \text{ruído}.\]

Mas — e aqui está o ponto central desta aula — ausência de autocorrelação não é o mesmo que independência. Duas variáveis podem ser não-correlacionadas e ainda assim estatisticamente dependentes através de momentos de ordem mais alta. É exatamente isso que acontece com retornos financeiros: $\text{Corr}(r_t, r_{t-k}) \approx 0$, mas $\text{Corr}(r_t^2, r_{t-k}^2) \gg 0$.

O Paradoxo Fundamental

A EMH proíbe prever a direção do próximo retorno — mas não proíbe prever sua magnitude. Os retornos são quase não-correlacionados (compatível com mercado eficiente), mas os retornos ao quadrado têm ACF forte e persistente. Podemos prever a incerteza de amanhã, mesmo sem saber o sinal. Essa é a brecha que os modelos GARCH exploram: eles não quebram a EMH, eles operam exatamente no espaço que a EMH deixa livre.

Notação Formal: Média e Variância Condicional

Antes de formalizar os modelos, fixemos a notação que será usada em toda a aula (e na aula seguinte, sobre VaR). Seja $\mathcal{F}_{t-1}$ o conjunto de informação disponível até $t-1$ (preços, retornos, indicadores observados).

Média e variância condicional \[\mu_t = \mathbb{E}[r_t \mid \mathcal{F}_{t-1}], \qquad h_t = \operatorname{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1}) = \mathbb{E}\!\left[(r_t - \mu_t)^2 \mid \mathcal{F}_{t-1}\right]\]

Ou seja, $\mu_t$ é a previsão de $r_t$ feita em $t-1$ e $h_t$ mede a incerteza em torno dessa previsão. Decompomos o retorno como

\[r_t = \mu_t + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\, z_t, \qquad z_t \sim \text{i.i.d.}(0,1).\]

Toda a modelagem de volatilidade (ARCH, GARCH, EGARCH, SV, RiskMetrics) consiste em escolher uma forma funcional para $h_t$ em função da informação passada. A média condicional $\mu_t$ frequentemente é modelada como constante ou como um ARMA pequeno.

Duas previsões, não uma

Modelar uma série financeira envolve dois objetos: a previsão do retorno ($\mu_t$) e a previsão da incerteza ($h_t$). Para decisões de risco, $h_t$ costuma ser mais importante que $\mu_t$ — e muito mais previsível.

Modelo ARCH: A Ideia Original

Robert Engle (Nobel 2003) percebeu que a variância dos retornos financeiros muda ao longo do tempo de forma previsível:

ARCH($q$) — Engle (1982) \[r_t = \mu + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t = \sigma_t z_t, \quad z_t \sim N(0,1)\] \[\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \varepsilon_{t-2}^2 + \cdots + \alpha_q \varepsilon_{t-q}^2\]

Em palavras: a volatilidade de hoje ($\sigma_t^2$) depende dos choques passados ao quadrado ($\varepsilon_{t-i}^2$). Se ontem houve um choque grande (positivo ou negativo), a volatilidade de hoje será alta.

Modelo GARCH: Adicionando Persistência

Tim Bollerslev (1986) generalizou o ARCH adicionando dependência da própria volatilidade passada:

GARCH($p,q$) — Bollerslev (1986) \[\sigma_t^2 = \omega + \underbrace{\sum_{i=1}^{q} \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2}_{\text{reação a choques}} + \underbrace{\sum_{j=1}^{p} \beta_j \sigma_{t-j}^2}_{\text{persistência}}\]

GARCH(1,1): O Modelo Mais Usado na Prática

Na esmagadora maioria dos casos, o GARCH(1,1) é suficiente:

\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2\]

Parâmetro	Significado	Valor típico
$\omega > 0$	Nível base (“piso”) de volatilidade	Pequeno e positivo
$\alpha$	Reação a novos choques — “quanto a novidade importa”	0.03–0.10
$\beta$	Persistência — “quanto o passado importa”	0.85–0.95
$\alpha + \beta$	Persistência total — se $< 1$, o processo é estacionário	0.95–0.99

Simulador interativo: GARCH(1,1)

Ajuste os parâmetros e veja como a volatilidade se comporta:

Código

viewof garch_alpha = Inputs.range([0.01, 0.30], {
  value: 0.08, step: 0.01, label: "α (reação a choques):"
})

viewof garch_beta = Inputs.range([0.50, 0.98], {
  value: 0.90, step: 0.01, label: "β (persistência):"
})

viewof garch_seed = Inputs.button("Gerar outra realização", {value: 0, reduce: v => v + 1})

Código

{
  const n = 500;
  const omega = 0.01;
  const alpha = garch_alpha;
  const beta = garch_beta;
  const persistence = alpha + beta;

  function seededRandom(seed) {
    let s = seed;
    return function() {
      s = (s * 16807) % 2147483647;
      return (s - 1) / 2147483646;
    };
  }
  const rng = seededRandom(42 + garch_seed * 197);
  function bm() {
    const u1 = rng(), u2 = rng();
    return Math.sqrt(-2 * Math.log(u1)) * Math.cos(2 * Math.PI * u2);
  }

  // Simular GARCH(1,1)
  let sigma2 = [omega / (1 - alpha - Math.min(beta, 0.99 - alpha))];
  let eps = [bm() * Math.sqrt(sigma2[0])];
  let ret = [eps[0]];

  for (let t = 1; t < n; t++) {
    const s2 = omega + alpha * eps[t-1]**2 + beta * sigma2[t-1];
    sigma2.push(s2);
    const z = bm();
    eps.push(z * Math.sqrt(s2));
    ret.push(eps[t]);
  }

  const vol = sigma2.map(s => Math.sqrt(s));

  const dataRet = ret.map((v, i) => ({t: i, value: v, tipo: "Retornos"}));
  const dataVol = vol.map((v, i) => ({t: i, value: v, tipo: "Volatilidade σ(t)"}));

  const statusText = persistence < 1
    ? `α + β = ${persistence.toFixed(3)} < 1 — Processo ESTACIONÁRIO`
    : `α + β = ${persistence.toFixed(3)} ≥ 1 — Processo NÃO ESTACIONÁRIO (IGARCH)`;

  const retPlot = Plot.plot({
    width: 800, height: 200,
    marks: [
      Plot.lineY(dataRet, {x:"t", y:"value", stroke:"#5B5B5B", strokeWidth:0.5}),
      Plot.ruleY([0], {stroke:"#ccc"})
    ],
    x:{label:null}, y:{label:"Retorno"},
    title: `GARCH(1,1): ω=${omega}, α=${alpha.toFixed(2)}, β=${beta.toFixed(2)}`
  });

  const volPlot = Plot.plot({
    width: 800, height: 200,
    marks: [
      Plot.areaY(dataVol, {x:"t", y:"value", fill:"#E50505", fillOpacity:0.3}),
      Plot.lineY(dataVol, {x:"t", y:"value", stroke:"#E50505", strokeWidth:1.5}),
    ],
    x:{label:"Tempo"}, y:{label:"σ(t)"},
    subtitle: statusText
  });

  const div = document.createElement("div");
  div.appendChild(retPlot);
  div.appendChild(volPlot);
  return div;
}

Experimente!

$\alpha$ alto (0.20) + $\beta$ baixo (0.70): volatilidade reage muito a choques, mas não persiste — picos agudos e curtos
$\alpha$ baixo (0.03) + $\beta$ alto (0.95): volatilidade reage pouco a choques individuais, mas persiste muito — transições lentas entre regimes
$\alpha + \beta \approx 1$: volatilidade extremamente persistente (IGARCH) — choques “nunca” desaparecem

IGARCH e RiskMetrics (EWMA)

Quando $\alpha + \beta = 1$, o GARCH(1,1) degenera num IGARCH (integrated GARCH). Nesse caso, a variância de longo prazo $\omega/(1-\alpha-\beta)$ deixa de existir: choques na volatilidade nunca se dissipam, exatamente como uma raiz unitária em séries de nível.

Impondo adicionalmente $\omega = 0$ e reparametrizando $\beta = \lambda$, $\alpha = 1-\lambda$, obtemos exatamente a fórmula do RiskMetrics™ (J.P. Morgan, 1996):

RiskMetrics EWMA \[h_t = \lambda\, h_{t-1} + (1-\lambda)\, r_{t-1}^2, \qquad \lambda \in (0,1)\]

Isto é uma média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) de retornos ao quadrado. O parâmetro padrão do RiskMetrics é $\lambda = 0{,}94$ para dados diários e $\lambda = 0{,}97$ para dados mensais — escolhidos por J.P. Morgan a partir de um ajuste a múltiplos ativos, sem estimação caso a caso.

Por que o mercado adotou RiskMetrics?

Sem estimação: $\lambda$ é fixo, basta calcular recursivamente — fácil de auditar
Parcimonioso: um único parâmetro governa toda a dinâmica de volatilidade
Recursão simples: $h_t$ depende apenas de $h_{t-1}$ e $r_{t-1}^2$ (memória O(1))
Conservador: como $\alpha + \beta = 1$, a volatilidade responde rapidamente a choques recentes

É o baseline universal em VaR regulatório — e o ponto de partida a ser batido por qualquer modelo mais sofisticado.

Variantes: Capturando Assimetria

O Efeito Alavancagem

Empiricamente, quedas no preço geram mais volatilidade que altas de mesma magnitude. Isso é chamado de efeito alavancagem (leverage effect): quando o preço cai, a razão dívida/equity da empresa sobe, aumentando o risco percebido.

O GARCH padrão não captura isso porque $\varepsilon_{t-1}^2$ trata choques positivos e negativos igualmente. As variantes abaixo resolvem isso:

EGARCH: Nelson (1991)

EGARCH \[\ln(\sigma_t^2) = \omega + \alpha \left(\left|\frac{\varepsilon_{t-1}}{\sigma_{t-1}}\right| - \sqrt{2/\pi}\right) + \gamma \frac{\varepsilon_{t-1}}{\sigma_{t-1}} + \beta \ln(\sigma_{t-1}^2)\]

O parâmetro $\gamma$ captura a assimetria: se $\gamma < 0$, choques negativos ($\varepsilon < 0$) aumentam mais a volatilidade.

GJR-GARCH (Threshold GARCH)

GJR-GARCH — Glosten, Jagannathan & Runkle (1993) \[\sigma_t^2 = \omega + (\alpha + \gamma I_{t-1}) \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2\]

onde $I_{t-1} = 1$ se $\varepsilon_{t-1} < 0$. Mais intuitivo: choques negativos recebem peso extra $\gamma$.

Comparativo

Modelo	Assimetria	Restrições nos parâmetros	Quando usar
GARCH	Não	$\alpha, \beta, \omega \geq 0$	Ponto de partida
EGARCH	Sim ($\gamma$)	Sem restrições de sinal	Sempre vale testar
GJR-GARCH	Sim ($\gamma$)	$\alpha + \gamma \geq 0$	Quando efeito alavancagem é forte

Distribuição dos Erros

Os retornos financeiros têm caudas mais pesadas que a normal. Alternativas:

Distribuição	Quando usar	Graus de liberdade
Normal	Baseline (geralmente inadequada)	—
t de Student	Caudas pesadas simétricas — mais comum	$\nu$ estimado (tipicamente 4–8)
Skewed-t	Caudas pesadas e assimétricas	$\nu$ + parâmetro de assimetria

Volatilidade Estocástica: Quando $h_t$ Tem Seu Próprio Choque

Em todos os modelos vistos até aqui (ARCH, GARCH, EGARCH, GJR, IGARCH), a volatilidade $h_t$ é uma função determinística da informação passada: dado $\mathcal{F}_{t-1}$, $h_t$ é conhecido exatamente. A volatilidade é uma resposta mecânica aos choques observados nos retornos.

Os modelos de volatilidade estocástica (SV) partem de uma ideia diferente: a volatilidade é uma variável latente com seu próprio choque aleatório, não observável diretamente.

SV com log-volatilidade AR(1) \[r_t = \exp(h_t / 2)\, z_t, \qquad z_t \sim N(0,1)\] \[h_t = \mu + \phi (h_{t-1} - \mu) + \sigma_\eta\, \eta_t, \qquad \eta_t \sim N(0,1)\] com $z_t \perp \eta_t$.

Aqui $h_t$ denota a log-variância (por isso entra como $\exp(h_t/2)$ no retorno) e segue um AR(1) com média $\mu$, persistência $\phi \in (-1,1)$ e inovação $\sigma_\eta$. O choque $\eta_t$ é distinto do choque do retorno $z_t$: há duas fontes de aleatoriedade no sistema.

GARCH vs SV em uma frase

GARCH: “A volatilidade é o que os retornos observados me dizem que ela é.” (uma fonte de ruído)
SV: “A volatilidade tem vida própria — os retornos observados são apenas uma pista ruidosa.” (duas fontes de ruído)

Por que usar SV?

Captura melhor caudas extremas em algumas séries — o choque extra $\eta_t$ permite saltos na volatilidade que o GARCH tem dificuldade de representar sem um choque enorme em $r_t$
Conexão direta com modelos de precificação de opções em tempo contínuo (Heston, Hull-White): o limite contínuo do SV-AR(1) é um processo de Ornstein-Uhlenbeck na log-variância
Interpretação de estado latente: a “volatilidade verdadeira” é um objeto inobservável estimado via filtragem (análogo ao filtro de Kalman)

Por que não é o padrão?

Estimação é cara: como $h_t$ é latente, a verossimilhança envolve uma integral de alta dimensão. Na prática, usa-se MCMC (Markov chain Monte Carlo) ou filtros de partículas
GARCH(1,1) quase sempre dá conta do recado para aplicações de risco no dia a dia
Ferramentas menos difundidas: em R, o pacote stochvol implementa bem; em Python, o ecossistema é mais escasso (ex.: PyMC para implementação manual)

Quando considerar SV

Séries com saltos bruscos de volatilidade que o GARCH sub-representa
Aplicações em precificação de opções onde o modelo de volatilidade precisa acoplar com um modelo contínuo
Pesquisa acadêmica e comparações de modelos — SV é um benchmark clássico

Toolkit de Diagnóstico

Ajustar um GARCH não é o fim do trabalho — é o começo da checagem. Os resíduos padronizados $\hat z_t = \hat\varepsilon_t / \sqrt{\hat h_t}$ devem ser aproximadamente i.i.d. com a distribuição assumida (normal, $t$, etc.). Quatro testes compõem o kit mínimo:

Teste	O que checa	Hipótese nula $H_0$	Ação se rejeita
ARCH-LM (Engle)	Heterocedasticidade residual em $\hat z_t^2$	Sem ARCH restante	Aumentar $p, q$ do GARCH
Ljung-Box em $\hat z_t$	Autocorrelação residual no nível	Resíduos não correlacionados	Modelar média $\mu_t$ (ARMA)
Ljung-Box em $\hat z_t^2$	Autocorrelação residual na variância	Sem clusters restantes	Aumentar ordem ou mudar família
Shapiro-Wilk / Jarque-Bera	Normalidade dos resíduos padronizados	$\hat z_t$ normais	Usar $t$-Student ou skewed-$t$

Regra prática para os quatro testes

ARCH-LM primeiro: se rejeita, o modelo não capturou a volatilidade — inútil olhar os outros
Ljung-Box no nível: se rejeita, há estrutura na média que você ignorou
Ljung-Box no quadrado: segundo filtro para garantir que $h_t$ foi bem especificado
Normalidade: quase sempre rejeita em retornos diários — é esperado e o remédio é trocar a distribuição, não o modelo de variância

Curtose amostral e skewness complementam os testes formais: retornos diários têm tipicamente curtose entre 4 e 10 (vs. 3 da normal).

Caso: Gestão de Risco em Fundo de Investimentos

Você é analista de risco com posições em PETR4, VALE3 e ITUB4. O gestor precisa de respostas claras:

“Qual a volatilidade esperada para amanhã?” → Previsão do GARCH
“Estamos num período de alta ou baixa volatilidade?” → $\sigma_t$ comparado à média histórica
“Quedas afetam mais o risco que altas?” → Parâmetro $\gamma$ do EGARCH/GJR
“Em quanto tempo a volatilidade volta ao normal após um choque?” → Half-life: $\ln(0.5) / \ln(\alpha + \beta)$

Na Prática: Ajustando GARCH com `arch` em Python

Código

from arch import arch_model
import yfinance as yf

# Baixar retornos diários
precos = yf.download('PETR4.SA', start='2020-01-01', end='2025-01-01')['Close']
retornos = precos.pct_change().dropna() * 100  # em percentual

# ── Comparar modelos ───────────────────────────────────
modelos = {
    'GARCH(1,1) Normal': arch_model(retornos, vol='Garch', p=1, q=1, dist='normal'),
    'GARCH(1,1) t-Student': arch_model(retornos, vol='Garch', p=1, q=1, dist='t'),
    'EGARCH(1,1) t-Student': arch_model(retornos, vol='EGARCH', p=1, q=1, dist='t'),
    'GJR-GARCH(1,1) t-Student': arch_model(retornos, vol='GARCH', p=1, o=1, q=1, dist='t'),
}

resultados = {}
for nome, modelo in modelos.items():
    res = modelo.fit(disp='off')
    resultados[nome] = {
        'AIC': res.aic,
        'BIC': res.bic,
        'Log-Lik': res.loglikelihood,
    }
    print(f"\n{'='*50}")
    print(f"{nome}")
    print(f"AIC = {res.aic:.1f}, BIC = {res.bic:.1f}")
    print(res.summary().tables[1])

# ── Previsão de volatilidade ──────────────────────────
melhor = arch_model(retornos, vol='EGARCH', p=1, q=1, dist='t').fit(disp='off')
# EGARCH requer simulação para horizonte > 1
previsao = melhor.forecast(horizon=10, method='simulation', simulations=1000)
print("\nVolatilidade prevista (σ diário, %) para os próximos 10 dias:")
print(previsao.variance.iloc[-1].apply(lambda x: f"{x**0.5:.2f}%"))


==================================================
GARCH(1,1) Normal
AIC = 5681.8, BIC = 5702.3
                                Mean Model                                
==========================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|    95.0% Conf. Int.
--------------------------------------------------------------------------
mu             0.2044  6.449e-02      3.169  1.530e-03 [7.797e-02,  0.331]
==========================================================================

==================================================
GARCH(1,1) t-Student
AIC = 5533.0, BIC = 5558.6
                                Mean Model                                
==========================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|    95.0% Conf. Int.
--------------------------------------------------------------------------
mu             0.1775  5.496e-02      3.230  1.239e-03 [6.978e-02,  0.285]
==========================================================================

==================================================
EGARCH(1,1) t-Student
AIC = 5529.5, BIC = 5555.1
                                Mean Model                                
==========================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|    95.0% Conf. Int.
--------------------------------------------------------------------------
mu             0.1685  5.376e-02      3.134  1.726e-03 [6.311e-02,  0.274]
==========================================================================

==================================================
GJR-GARCH(1,1) t-Student
AIC = 5531.7, BIC = 5562.5
                                Mean Model                                
==========================================================================
                 coef    std err          t      P>|t|    95.0% Conf. Int.
--------------------------------------------------------------------------
mu             0.1696  5.474e-02      3.099  1.943e-03 [6.234e-02,  0.277]
==========================================================================

Volatilidade prevista (σ diário, %) para os próximos 10 dias:
h.01    1.60%
h.02    1.62%
h.03    1.65%
h.04    1.68%
h.05    1.70%
h.06    1.72%
h.07    1.74%
h.08    1.76%
h.09    1.78%
h.10    1.79%
Name: 2024-12-30 00:00:00, dtype: str

Fluxo de trabalho recomendado

Comece com GARCH(1,1) + t-Student como baseline
Compare com EGARCH e GJR-GARCH via AIC/BIC
Verifique se $\gamma$ (assimetria) é significativo — se não for, fique com o GARCH padrão
Sempre use distribuição t de Student (a normal quase nunca é adequada para retornos)
Cheque os resíduos padronizados ($z_t = \varepsilon_t / \sigma_t$): devem ser i.i.d.

Quizzes: Teste seu Entendimento

Questão 1: Se $\alpha = 0.05$ e $\beta = 0.93$ em um GARCH(1,1), o que isso diz sobre a volatilidade?

A persistência é $\alpha + \beta = 0.98$, muito alta. Isso significa que choques na volatilidade demoram muito para se dissipar. O half-life (tempo para o choque reduzir pela metade) é $\ln(0.5)/\ln(0.98) \approx 34$ dias. Além disso, como $\alpha$ é pequeno, a volatilidade reage pouco a choques individuais, mas mantém o nível por muito tempo — transições lentas entre regimes calmo e turbulento.

Questão 2: Retornos ao quadrado de um ativo têm ACF significativa até lag 10, mas retornos simples não. O que isso sugere?

Sugere a presença de heterocedasticidade condicional (volatilidade que muda ao longo do tempo). Os retornos não são previsíveis em nível (mercado eficiente), mas sua variância é previsível — exatamente o cenário para modelos GARCH. Se a ACF dos retornos simples fosse significativa, haveria oportunidade de arbitragem (o que seria rapidamente eliminado pelo mercado).

Questão 3: Um EGARCH estimou $\gamma = -0.15$. Interprete.

O efeito alavancagem é significativo e negativo: choques negativos (quedas de preço) geram mais volatilidade que choques positivos de mesma magnitude. Em termos práticos, uma queda de 3% gera um aumento de volatilidade equivalente ao de uma alta de ~3.5% (dependendo dos demais parâmetros). Isso é consistente com a teoria: quando o preço cai, o risco percebido da empresa aumenta (maior alavancagem financeira).

Questão 4: Por que usamos distribuição t de Student em vez de normal?

Retornos financeiros apresentam excesso de curtose (caudas mais pesadas que a normal): eventos extremos ocorrem com mais frequência do que a normal prevê. A distribuição t, com seu parâmetro de graus de liberdade $\nu$, consegue capturar essas caudas pesadas. Quanto menor $\nu$, mais pesadas as caudas. Tipicamente, $\nu$ é estimado entre 4 e 8 para retornos diários — significativamente diferente da normal (que é $t$ com $\nu \to \infty$).

Usar normal subestima a probabilidade de eventos extremos, o que é perigoso para gestão de risco.

Questão 5: Seu GARCH(1,1) estimou $\alpha + \beta = 1.02$. O que está errado?

O processo é não estacionário em variância — a volatilidade não tem média de longo prazo para a qual reverter. Na teoria, $\alpha + \beta$ deve ser $< 1$ para estacionariedade. Na prática, estimativas ligeiramente acima de 1 podem ocorrer por erro amostral. Ações: (a) tente IGARCH (que impõe $\alpha + \beta = 1$); (b) verifique se há quebra estrutural na amostra; (c) considere usar uma amostra mais curta e homogênea.

Questão 6: Qual a relação entre IGARCH e o RiskMetrics™ da J.P. Morgan?

RiskMetrics é um IGARCH(1,1) com $\omega = 0$ e um valor fixo de $\lambda$ (tipicamente 0,94 para dados diários). Partindo de $h_t = \omega + \alpha r_{t-1}^2 + \beta h_{t-1}$ com $\alpha + \beta = 1$ e $\omega = 0$, reescrevemos como $h_t = (1-\lambda) r_{t-1}^2 + \lambda h_{t-1}$, que é uma EWMA dos retornos ao quadrado. A vantagem prática é que não há estimação — basta uma recursão — e o modelo responde rapidamente a choques recentes. A desvantagem é supor persistência total ($\alpha + \beta = 1$), o que tipicamente superestima a volatilidade de longo prazo após choques isolados.

Questão 7: Qual a diferença fundamental entre GARCH e volatilidade estocástica (SV)?

No GARCH, a volatilidade $h_t$ é uma função determinística da informação passada: dados $\varepsilon_{t-1}$ e $h_{t-1}$, $h_t$ é conhecido exatamente. Há uma só fonte de ruído ($z_t$ no retorno).

No SV, a volatilidade é uma variável latente com seu próprio choque aleatório $\eta_t$, independente do choque do retorno $z_t$. Há duas fontes de ruído, e $h_t$ nunca é observado — é estimado via MCMC ou filtros. Consequências: SV captura melhor certos saltos de volatilidade e conecta-se naturalmente a modelos contínuos de precificação de opções, mas sua estimação é muito mais cara. Para risco de mercado do dia a dia, GARCH(1,1) costuma ser suficiente.

Para Saber Mais

Tsay, R.S. (2010). Analysis of Financial Time Series, Cap. 3. Wiley.
Engle, R. (2001). GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics. Journal of Economic Perspectives.
Francq, C. & Zakoïan, J.M. (2019). GARCH Models: Structure, Statistical Inference and Financial Applications. 2nd ed. Wiley.

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--- title: "Aula 4: Volatilidade e Modelos GARCH" subtitle: "Modelando o risco que muda ao longo do tempo" format: html: code-fold: true --- ::: {.objetivos} #### Objetivos de Aprendizagem - **Identificar** fatos estilizados de séries financeiras - **Formular** modelos ARCH e GARCH para volatilidade condicional - **Comparar** variantes (EGARCH, GJR-GARCH) e suas motivações - **Aplicar** modelos de volatilidade a ativos reais ::: ## De Séries Temporais para Finanças Até agora, trabalhamos com séries que tipicamente têm tendência e sazonalidade (vendas, PIB, inflação). Séries financeiras — retornos de ações, câmbio, commodities — são **fundamentalmente diferentes**. Os retornos geralmente não têm tendência nem sazonalidade forte, mas apresentam fenômenos que exigem novos modelos. ### Retorno e Log-Retorno ::: {.formula-highlight} [Retorno simples]{.formula-label} $$R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1$$ ::: ::: {.formula-highlight} [Log-retorno (retorno continuamente composto)]{.formula-label} $$r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) = \ln(P_t) - \ln(P_{t-1})$$ ::: ::: {.callout-tip} ## Por que usar log-retorno? 1. **Aditividade temporal**: $r_{t:t+k} = r_t + r_{t+1} + \cdots + r_{t+k}$ — facilitando cálculos 2. **Simetria**: uma queda de 50% ($R = -0.5$) exige alta de 100% ($R = +1.0$) para recuperar, mas em log são $-0.69$ e $+0.69$ — mais simétrico 3. **Aproximação**: para retornos pequenos ($|R_t| < 0.1$), $r_t \approx R_t$ 4. **Normalidade**: log-retornos se aproximam mais da distribuição normal ::: ## Fatos Estilizados de Séries Financeiras Estas são regularidades empíricas observadas em praticamente **todos os mercados financeiros** ao redor do mundo: ```{mermaid} %%| fig-align: center flowchart TD R(("Fatos Estilizados")) R --> A["Caudas pesadas Excesso de curtose Eventos extremos frequentes"] R --> B["Clusters de volatilidade Períodos calmos e turbulentos Volatilidade persistente"] R --> C["Efeito alavancagem Quedas geram mais volatilidade Medo > Euforia"] R --> D["Sem autocorrelação nos retornos r_t quase i.i.d. Mas r_t² tem forte ACF!"] classDef root fill:#E50505,stroke:#3F3F3F,stroke-width:2px,color:#fff classDef fact fill:#ffffff,stroke:#3F3F3F,stroke-width:1.5px,color:#3F3F3F class R root class A,B,C,D fact linkStyle default stroke:#3F3F3F,stroke-width:1.5px ``` ### Mercado eficiente, random walk e volatilidade Vale conectar o quarto fato estilizado — **ausência de autocorrelação nos retornos** — com um conceito que apareceu já na Aula 1 (random walk) e que é a base conceitual de praticamente toda finanças moderna: a **hipótese do mercado eficiente** (EMH). Na sua versão mais comum (*forma fraca*), a EMH afirma que **o preço atual já incorpora toda a informação contida no histórico de preços**. A consequência estatística é simples e poderosa: se fosse possível prever a **direção** do próximo retorno a partir dos retornos passados, haveria uma oportunidade de arbitragem — traders a explorariam, e o padrão desapareceria. Em equilíbrio, portanto, a série de retornos deve ser aproximadamente **não-autocorrelacionada**. Isso é exatamente o que observamos nos dados: a ACF dos retornos é tipicamente indistinguível de ruído branco. Equivalentemente, o **preço** segue aproximadamente uma **random walk** (a forma mais simples de processo não-estacionário que vimos na Aula 1), já que $$P_t = P_{t-1} \exp(r_t), \qquad r_t \approx \text{ruído}.$$ Mas — e aqui está o ponto central desta aula — **ausência de autocorrelação não é o mesmo que independência**. Duas variáveis podem ser não-correlacionadas e ainda assim estatisticamente dependentes através de momentos de ordem mais alta. É exatamente isso que acontece com retornos financeiros: $\text{Corr}(r_t, r_{t-k}) \approx 0$, mas $\text{Corr}(r_t^2, r_{t-k}^2) \gg 0$. ::: {.conceito-card} #### O Paradoxo Fundamental A EMH proíbe prever a **direção** do próximo retorno — mas **não proíbe** prever sua **magnitude**. Os retornos são quase não-correlacionados (compatível com mercado eficiente), mas os retornos ao quadrado têm ACF forte e persistente. Podemos prever a incerteza de amanhã, mesmo sem saber o sinal. Essa é a brecha que os modelos GARCH exploram: eles não quebram a EMH, eles operam exatamente no espaço que a EMH deixa livre. ::: ## Notação Formal: Média e Variância Condicional Antes de formalizar os modelos, fixemos a notação que será usada em toda a aula (e na aula seguinte, sobre VaR). Seja $\mathcal{F}_{t-1}$ o **conjunto de informação disponível até $t-1$** (preços, retornos, indicadores observados). ::: {.formula-highlight} [Média e variância condicional]{.formula-label} $$\mu_t = \mathbb{E}[r_t \mid \mathcal{F}_{t-1}], \qquad h_t = \operatorname{Var}(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1}) = \mathbb{E}\!\left[(r_t - \mu_t)^2 \mid \mathcal{F}_{t-1}\right]$$ ::: Ou seja, $\mu_t$ é a **previsão** de $r_t$ feita em $t-1$ e $h_t$ mede a **incerteza** em torno dessa previsão. Decompomos o retorno como $$r_t = \mu_t + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t = \sqrt{h_t}\, z_t, \qquad z_t \sim \text{i.i.d.}(0,1).$$ Toda a modelagem de volatilidade (ARCH, GARCH, EGARCH, SV, RiskMetrics) consiste em **escolher uma forma funcional para $h_t$** em função da informação passada. A média condicional $\mu_t$ frequentemente é modelada como constante ou como um ARMA pequeno. ::: {.conceito-card} #### Duas previsões, não uma Modelar uma série financeira envolve **dois objetos**: a previsão do retorno ($\mu_t$) e a previsão da incerteza ($h_t$). Para decisões de risco, $h_t$ costuma ser mais importante que $\mu_t$ — e muito mais previsível. ::: ## Modelo ARCH: A Ideia Original Robert Engle (Nobel 2003) percebeu que a **variância** dos retornos financeiros muda ao longo do tempo de forma previsível: ::: {.formula-highlight} [ARCH($q$) — Engle (1982)]{.formula-label} $$r_t = \mu + \varepsilon_t, \quad \varepsilon_t = \sigma_t z_t, \quad z_t \sim N(0,1)$$ $$\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \varepsilon_{t-2}^2 + \cdots + \alpha_q \varepsilon_{t-q}^2$$ ::: Em palavras: a volatilidade de hoje ($\sigma_t^2$) depende dos **choques passados ao quadrado** ($\varepsilon_{t-i}^2$). Se ontem houve um choque grande (positivo ou negativo), a volatilidade de hoje será alta. ## Modelo GARCH: Adicionando Persistência Tim Bollerslev (1986) generalizou o ARCH adicionando dependência da **própria volatilidade passada**: ::: {.formula-highlight} [GARCH($p,q$) — Bollerslev (1986)]{.formula-label} $$\sigma_t^2 = \omega + \underbrace{\sum_{i=1}^{q} \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2}_{\text{reação a choques}} + \underbrace{\sum_{j=1}^{p} \beta_j \sigma_{t-j}^2}_{\text{persistência}}$$ ::: ### GARCH(1,1): O Modelo Mais Usado na Prática Na esmagadora maioria dos casos, o GARCH(1,1) é suficiente: $$\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$$ | Parâmetro | Significado | Valor típico | |-----------|-------------|-------------| | $\omega > 0$ | Nível base ("piso") de volatilidade | Pequeno e positivo | | $\alpha$ | Reação a novos choques — "quanto a novidade importa" | 0.03–0.10 | | $\beta$ | Persistência — "quanto o passado importa" | 0.85–0.95 | | $\alpha + \beta$ | Persistência total — se $< 1$, o processo é estacionário | 0.95–0.99 | ### Simulador interativo: GARCH(1,1) Ajuste os parâmetros e veja como a volatilidade se comporta: ```{ojs} //| echo: false viewof garch_alpha = Inputs.range([0.01, 0.30], { value: 0.08, step: 0.01, label: "α (reação a choques):" }) viewof garch_beta = Inputs.range([0.50, 0.98], { value: 0.90, step: 0.01, label: "β (persistência):" }) viewof garch_seed = Inputs.button("Gerar outra realização", {value: 0, reduce: v => v + 1}) ``` ```{ojs} //| echo: false { const n = 500; const omega = 0.01; const alpha = garch_alpha; const beta = garch_beta; const persistence = alpha + beta; function seededRandom(seed) { let s = seed; return function() { s = (s * 16807) % 2147483647; return (s - 1) / 2147483646; }; } const rng = seededRandom(42 + garch_seed * 197); function bm() { const u1 = rng(), u2 = rng(); return Math.sqrt(-2 * Math.log(u1)) * Math.cos(2 * Math.PI * u2); } // Simular GARCH(1,1) let sigma2 = [omega / (1 - alpha - Math.min(beta, 0.99 - alpha))]; let eps = [bm() * Math.sqrt(sigma2[0])]; let ret = [eps[0]]; for (let t = 1; t < n; t++) { const s2 = omega + alpha * eps[t-1]**2 + beta * sigma2[t-1]; sigma2.push(s2); const z = bm(); eps.push(z * Math.sqrt(s2)); ret.push(eps[t]); } const vol = sigma2.map(s => Math.sqrt(s)); const dataRet = ret.map((v, i) => ({t: i, value: v, tipo: "Retornos"})); const dataVol = vol.map((v, i) => ({t: i, value: v, tipo: "Volatilidade σ(t)"})); const statusText = persistence < 1 ? `α + β = ${persistence.toFixed(3)} < 1 — Processo ESTACIONÁRIO` : `α + β = ${persistence.toFixed(3)} ≥ 1 — Processo NÃO ESTACIONÁRIO (IGARCH)`; const retPlot = Plot.plot({ width: 800, height: 200, marks: [ Plot.lineY(dataRet, {x:"t", y:"value", stroke:"#5B5B5B", strokeWidth:0.5}), Plot.ruleY([0], {stroke:"#ccc"}) ], x:{label:null}, y:{label:"Retorno"}, title: `GARCH(1,1): ω=${omega}, α=${alpha.toFixed(2)}, β=${beta.toFixed(2)}` }); const volPlot = Plot.plot({ width: 800, height: 200, marks: [ Plot.areaY(dataVol, {x:"t", y:"value", fill:"#E50505", fillOpacity:0.3}), Plot.lineY(dataVol, {x:"t", y:"value", stroke:"#E50505", strokeWidth:1.5}), ], x:{label:"Tempo"}, y:{label:"σ(t)"}, subtitle: statusText }); const div = document.createElement("div"); div.appendChild(retPlot); div.appendChild(volPlot); return div; } ``` ::: {.callout-tip} ## Experimente! - $\alpha$ alto (0.20) + $\beta$ baixo (0.70): volatilidade reage **muito** a choques, mas não persiste — picos agudos e curtos - $\alpha$ baixo (0.03) + $\beta$ alto (0.95): volatilidade reage **pouco** a choques individuais, mas persiste muito — transições lentas entre regimes - $\alpha + \beta \approx 1$: volatilidade extremamente persistente (IGARCH) — choques "nunca" desaparecem ::: ## IGARCH e RiskMetrics (EWMA) Quando $\alpha + \beta = 1$, o GARCH(1,1) degenera num **IGARCH** (integrated GARCH). Nesse caso, a variância de longo prazo $\omega/(1-\alpha-\beta)$ deixa de existir: choques na volatilidade **nunca se dissipam**, exatamente como uma raiz unitária em séries de nível. Impondo adicionalmente $\omega = 0$ e reparametrizando $\beta = \lambda$, $\alpha = 1-\lambda$, obtemos exatamente a fórmula do **RiskMetrics™** (J.P. Morgan, 1996): ::: {.formula-highlight} [RiskMetrics EWMA]{.formula-label} $$h_t = \lambda\, h_{t-1} + (1-\lambda)\, r_{t-1}^2, \qquad \lambda \in (0,1)$$ ::: Isto é uma **média móvel exponencialmente ponderada** (EWMA) de retornos ao quadrado. O parâmetro padrão do RiskMetrics é $\lambda = 0{,}94$ para dados diários e $\lambda = 0{,}97$ para dados mensais — escolhidos por J.P. Morgan a partir de um ajuste a múltiplos ativos, **sem estimação caso a caso**. ::: {.callout-note} ## Por que o mercado adotou RiskMetrics? - **Sem estimação**: $\lambda$ é fixo, basta calcular recursivamente — fácil de auditar - **Parcimonioso**: um único parâmetro governa toda a dinâmica de volatilidade - **Recursão simples**: $h_t$ depende apenas de $h_{t-1}$ e $r_{t-1}^2$ (memória O(1)) - **Conservador**: como $\alpha + \beta = 1$, a volatilidade responde rapidamente a choques recentes É o baseline universal em VaR regulatório — e o ponto de partida a ser batido por qualquer modelo mais sofisticado. ::: ## Variantes: Capturando Assimetria ### O Efeito Alavancagem Empiricamente, **quedas no preço** geram mais volatilidade que altas de mesma magnitude. Isso é chamado de **efeito alavancagem** (leverage effect): quando o preço cai, a razão dívida/equity da empresa sobe, aumentando o risco percebido. O GARCH padrão não captura isso porque $\varepsilon_{t-1}^2$ trata choques positivos e negativos igualmente. As variantes abaixo resolvem isso: ### EGARCH: Nelson (1991) ::: {.formula-highlight} [EGARCH]{.formula-label} $$\ln(\sigma_t^2) = \omega + \alpha \left(\left|\frac{\varepsilon_{t-1}}{\sigma_{t-1}}\right| - \sqrt{2/\pi}\right) + \gamma \frac{\varepsilon_{t-1}}{\sigma_{t-1}} + \beta \ln(\sigma_{t-1}^2)$$ ::: O parâmetro $\gamma$ captura a assimetria: se $\gamma < 0$, choques negativos ($\varepsilon < 0$) aumentam mais a volatilidade. ### GJR-GARCH (Threshold GARCH) ::: {.formula-highlight} [GJR-GARCH — Glosten, Jagannathan & Runkle (1993)]{.formula-label} $$\sigma_t^2 = \omega + (\alpha + \gamma I_{t-1}) \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$$ ::: onde $I_{t-1} = 1$ se $\varepsilon_{t-1} < 0$. Mais intuitivo: choques negativos recebem peso extra $\gamma$. ### Comparativo | Modelo | Assimetria | Restrições nos parâmetros | Quando usar | |--------|-----------|--------------------------|-------------| | GARCH | Não | $\alpha, \beta, \omega \geq 0$ | Ponto de partida | | EGARCH | Sim ($\gamma$) | Sem restrições de sinal | Sempre vale testar | | GJR-GARCH | Sim ($\gamma$) | $\alpha + \gamma \geq 0$ | Quando efeito alavancagem é forte | ### Distribuição dos Erros Os retornos financeiros têm **caudas mais pesadas** que a normal. Alternativas: | Distribuição | Quando usar | Graus de liberdade | |-------------|-------------|-------------------| | Normal | Baseline (geralmente inadequada) | — | | **t de Student** | Caudas pesadas simétricas — **mais comum** | $\nu$ estimado (tipicamente 4–8) | | Skewed-t | Caudas pesadas e assimétricas | $\nu$ + parâmetro de assimetria | ## Volatilidade Estocástica: Quando $h_t$ Tem Seu Próprio Choque Em todos os modelos vistos até aqui (ARCH, GARCH, EGARCH, GJR, IGARCH), a volatilidade $h_t$ é uma **função determinística** da informação passada: dado $\mathcal{F}_{t-1}$, $h_t$ é conhecido exatamente. A volatilidade é uma **resposta mecânica** aos choques observados nos retornos. Os modelos de **volatilidade estocástica (SV)** partem de uma ideia diferente: a volatilidade é uma **variável latente** com seu próprio choque aleatório, não observável diretamente. ::: {.formula-highlight} [SV com log-volatilidade AR(1)]{.formula-label} $$r_t = \exp(h_t / 2)\, z_t, \qquad z_t \sim N(0,1)$$ $$h_t = \mu + \phi (h_{t-1} - \mu) + \sigma_\eta\, \eta_t, \qquad \eta_t \sim N(0,1)$$ com $z_t \perp \eta_t$. ::: Aqui $h_t$ denota a **log-variância** (por isso entra como $\exp(h_t/2)$ no retorno) e segue um AR(1) com média $\mu$, persistência $\phi \in (-1,1)$ e inovação $\sigma_\eta$. O choque $\eta_t$ é distinto do choque do retorno $z_t$: há **duas fontes de aleatoriedade** no sistema. ::: {.conceito-card} #### GARCH vs SV em uma frase - **GARCH**: "A volatilidade é o que os retornos observados me dizem que ela é." (uma fonte de ruído) - **SV**: "A volatilidade tem vida própria — os retornos observados são apenas uma pista ruidosa." (duas fontes de ruído) ::: ### Por que usar SV? - **Captura melhor caudas extremas** em algumas séries — o choque extra $\eta_t$ permite saltos na volatilidade que o GARCH tem dificuldade de representar sem um choque enorme em $r_t$ - **Conexão direta com modelos de precificação de opções** em tempo contínuo (Heston, Hull-White): o limite contínuo do SV-AR(1) é um processo de Ornstein-Uhlenbeck na log-variância - **Interpretação de estado latente**: a "volatilidade verdadeira" é um objeto inobservável estimado via filtragem (análogo ao filtro de Kalman) ### Por que não é o padrão? - **Estimação é cara**: como $h_t$ é latente, a verossimilhança envolve uma integral de alta dimensão. Na prática, usa-se **MCMC** (Markov chain Monte Carlo) ou filtros de partículas - **GARCH(1,1) quase sempre dá conta do recado** para aplicações de risco no dia a dia - **Ferramentas menos difundidas**: em R, o pacote `stochvol` implementa bem; em Python, o ecossistema é mais escasso (ex.: `PyMC` para implementação manual) ::: {.callout-tip} ## Quando considerar SV - Séries com **saltos bruscos de volatilidade** que o GARCH sub-representa - Aplicações em **precificação de opções** onde o modelo de volatilidade precisa acoplar com um modelo contínuo - Pesquisa acadêmica e comparações de modelos — SV é um benchmark clássico ::: ## Toolkit de Diagnóstico Ajustar um GARCH não é o fim do trabalho — é o começo da **checagem**. Os resíduos padronizados $\hat z_t = \hat\varepsilon_t / \sqrt{\hat h_t}$ devem ser aproximadamente i.i.d. com a distribuição assumida (normal, $t$, etc.). Quatro testes compõem o kit mínimo: | Teste | O que checa | Hipótese nula $H_0$ | Ação se rejeita | |-------|-------------|---------------------|------------------| | **ARCH-LM** (Engle) | Heterocedasticidade residual em $\hat z_t^2$ | Sem ARCH restante | Aumentar $p, q$ do GARCH | | **Ljung-Box** em $\hat z_t$ | Autocorrelação residual no nível | Resíduos não correlacionados | Modelar média $\mu_t$ (ARMA) | | **Ljung-Box** em $\hat z_t^2$ | Autocorrelação residual na variância | Sem clusters restantes | Aumentar ordem ou mudar família | | **Shapiro-Wilk / Jarque-Bera** | Normalidade dos resíduos padronizados | $\hat z_t$ normais | Usar $t$-Student ou skewed-$t$ | ::: {.callout-note} ## Regra prática para os quatro testes 1. **ARCH-LM** primeiro: se rejeita, o modelo **não capturou** a volatilidade — inútil olhar os outros 2. **Ljung-Box no nível**: se rejeita, há estrutura na média que você ignorou 3. **Ljung-Box no quadrado**: segundo filtro para garantir que $h_t$ foi bem especificado 4. **Normalidade**: quase sempre rejeita em retornos diários — é **esperado** e o remédio é trocar a distribuição, não o modelo de variância Curtose amostral e skewness complementam os testes formais: retornos diários têm tipicamente curtose entre 4 e 10 (vs. 3 da normal). ::: ::: {.caso-negocio} #### Caso: Gestão de Risco em Fundo de Investimentos Você é analista de risco com posições em PETR4, VALE3 e ITUB4. O gestor precisa de respostas claras: 1. **"Qual a volatilidade esperada para amanhã?"** → Previsão do GARCH 2. **"Estamos num período de alta ou baixa volatilidade?"** → $\sigma_t$ comparado à média histórica 3. **"Quedas afetam mais o risco que altas?"** → Parâmetro $\gamma$ do EGARCH/GJR 4. **"Em quanto tempo a volatilidade volta ao normal após um choque?"** → Half-life: $\ln(0.5) / \ln(\alpha + \beta)$ ::: ## Na Prática: Ajustando GARCH com `arch` em Python ```{python} #| code-fold: true from arch import arch_model import yfinance as yf # Baixar retornos diários precos = yf.download('PETR4.SA', start='2020-01-01', end='2025-01-01')['Close'] retornos = precos.pct_change().dropna() * 100 # em percentual # ── Comparar modelos ─────────────────────────────────── modelos = { 'GARCH(1,1) Normal': arch_model(retornos, vol='Garch', p=1, q=1, dist='normal'), 'GARCH(1,1) t-Student': arch_model(retornos, vol='Garch', p=1, q=1, dist='t'), 'EGARCH(1,1) t-Student': arch_model(retornos, vol='EGARCH', p=1, q=1, dist='t'), 'GJR-GARCH(1,1) t-Student': arch_model(retornos, vol='GARCH', p=1, o=1, q=1, dist='t'), } resultados = {} for nome, modelo in modelos.items(): res = modelo.fit(disp='off') resultados[nome] = { 'AIC': res.aic, 'BIC': res.bic, 'Log-Lik': res.loglikelihood, } print(f"\n{'='*50}") print(f"{nome}") print(f"AIC = {res.aic:.1f}, BIC = {res.bic:.1f}") print(res.summary().tables[1]) # ── Previsão de volatilidade ────────────────────────── melhor = arch_model(retornos, vol='EGARCH', p=1, q=1, dist='t').fit(disp='off') # EGARCH requer simulação para horizonte > 1 previsao = melhor.forecast(horizon=10, method='simulation', simulations=1000) print("\nVolatilidade prevista (σ diário, %) para os próximos 10 dias:") print(previsao.variance.iloc[-1].apply(lambda x: f"{x**0.5:.2f}%")) ``` ::: {.callout-tip} ## Fluxo de trabalho recomendado 1. Comece com **GARCH(1,1) + t-Student** como baseline 2. Compare com **EGARCH** e **GJR-GARCH** via AIC/BIC 3. Verifique se $\gamma$ (assimetria) é significativo — se não for, fique com o GARCH padrão 4. Sempre use distribuição **t de Student** (a normal quase nunca é adequada para retornos) 5. Cheque os resíduos padronizados ($z_t = \varepsilon_t / \sigma_t$): devem ser i.i.d. ::: ## Quizzes: Teste seu Entendimento ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 1: Se $\alpha = 0.05$ e $\beta = 0.93$ em um GARCH(1,1), o que isso diz sobre a volatilidade? A persistência é $\alpha + \beta = 0.98$, muito alta. Isso significa que **choques na volatilidade demoram muito para se dissipar**. O half-life (tempo para o choque reduzir pela metade) é $\ln(0.5)/\ln(0.98) \approx 34$ dias. Além disso, como $\alpha$ é pequeno, a volatilidade reage pouco a choques individuais, mas mantém o nível por muito tempo — transições lentas entre regimes calmo e turbulento. ::: ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 2: Retornos ao quadrado de um ativo têm ACF significativa até lag 10, mas retornos simples não. O que isso sugere? Sugere a presença de **heterocedasticidade condicional** (volatilidade que muda ao longo do tempo). Os retornos não são previsíveis em nível (mercado eficiente), mas sua *variância* é previsível — exatamente o cenário para modelos GARCH. Se a ACF dos retornos simples fosse significativa, haveria oportunidade de arbitragem (o que seria rapidamente eliminado pelo mercado). ::: ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 3: Um EGARCH estimou $\gamma = -0.15$. Interprete. O efeito alavancagem é **significativo e negativo**: choques negativos (quedas de preço) geram **mais volatilidade** que choques positivos de mesma magnitude. Em termos práticos, uma queda de 3% gera um aumento de volatilidade equivalente ao de uma alta de ~3.5% (dependendo dos demais parâmetros). Isso é consistente com a teoria: quando o preço cai, o risco percebido da empresa aumenta (maior alavancagem financeira). ::: ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 4: Por que usamos distribuição t de Student em vez de normal? Retornos financeiros apresentam **excesso de curtose** (caudas mais pesadas que a normal): eventos extremos ocorrem com mais frequência do que a normal prevê. A distribuição t, com seu parâmetro de graus de liberdade $\nu$, consegue capturar essas caudas pesadas. Quanto menor $\nu$, mais pesadas as caudas. Tipicamente, $\nu$ é estimado entre 4 e 8 para retornos diários — significativamente diferente da normal (que é $t$ com $\nu \to \infty$). Usar normal subestima a probabilidade de eventos extremos, o que é perigoso para gestão de risco. ::: ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 5: Seu GARCH(1,1) estimou $\alpha + \beta = 1.02$. O que está errado? O processo é **não estacionário em variância** — a volatilidade não tem média de longo prazo para a qual reverter. Na teoria, $\alpha + \beta$ deve ser $< 1$ para estacionariedade. Na prática, estimativas ligeiramente acima de 1 podem ocorrer por erro amostral. **Ações**: (a) tente IGARCH (que impõe $\alpha + \beta = 1$); (b) verifique se há quebra estrutural na amostra; (c) considere usar uma amostra mais curta e homogênea. ::: ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 6: Qual a relação entre IGARCH e o RiskMetrics™ da J.P. Morgan? RiskMetrics é um **IGARCH(1,1) com $\omega = 0$** e um valor fixo de $\lambda$ (tipicamente 0,94 para dados diários). Partindo de $h_t = \omega + \alpha r_{t-1}^2 + \beta h_{t-1}$ com $\alpha + \beta = 1$ e $\omega = 0$, reescrevemos como $h_t = (1-\lambda) r_{t-1}^2 + \lambda h_{t-1}$, que é uma **EWMA** dos retornos ao quadrado. A vantagem prática é que não há estimação — basta uma recursão — e o modelo responde rapidamente a choques recentes. A desvantagem é supor persistência total ($\alpha + \beta = 1$), o que tipicamente superestima a volatilidade de longo prazo após choques isolados. ::: ::: {.callout-caution collapse="true"} ## Questão 7: Qual a diferença fundamental entre GARCH e volatilidade estocástica (SV)? No **GARCH**, a volatilidade $h_t$ é uma **função determinística** da informação passada: dados $\varepsilon_{t-1}$ e $h_{t-1}$, $h_t$ é conhecido exatamente. Há **uma só fonte de ruído** ($z_t$ no retorno). No **SV**, a volatilidade é uma **variável latente** com seu próprio choque aleatório $\eta_t$, independente do choque do retorno $z_t$. Há **duas fontes de ruído**, e $h_t$ nunca é observado — é estimado via MCMC ou filtros. Consequências: SV captura melhor certos saltos de volatilidade e conecta-se naturalmente a modelos contínuos de precificação de opções, mas sua estimação é muito mais cara. Para risco de mercado do dia a dia, GARCH(1,1) costuma ser suficiente. ::: ## Para Saber Mais - Tsay, R.S. (2010). *Analysis of Financial Time Series*, Cap. 3. Wiley. - Engle, R. (2001). *GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics*. Journal of Economic Perspectives. - Francq, C. & Zakoïan, J.M. (2019). *GARCH Models: Structure, Statistical Inference and Financial Applications*. 2nd ed. Wiley.

Objetivos de Aprendizagem

De Séries Temporais para Finanças

Retorno e Log-Retorno

Fatos Estilizados de Séries Financeiras

Mercado eficiente, random walk e volatilidade

O Paradoxo Fundamental

Notação Formal: Média e Variância Condicional

Duas previsões, não uma

Modelo ARCH: A Ideia Original

Modelo GARCH: Adicionando Persistência

GARCH(1,1): O Modelo Mais Usado na Prática

Simulador interativo: GARCH(1,1)

IGARCH e RiskMetrics (EWMA)

Variantes: Capturando Assimetria

O Efeito Alavancagem

EGARCH: Nelson (1991)

GJR-GARCH (Threshold GARCH)

Comparativo

Distribuição dos Erros

Volatilidade Estocástica: Quando \(h_t\) Tem Seu Próprio Choque

GARCH vs SV em uma frase

Por que usar SV?

Por que não é o padrão?

Toolkit de Diagnóstico

Caso: Gestão de Risco em Fundo de Investimentos

Na Prática: Ajustando GARCH com arch em Python

Quizzes: Teste seu Entendimento

Para Saber Mais

Na Prática: Ajustando GARCH com `arch` em Python